第三章 空间的不寻常性质
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一、维数和坐标
我们都知道什么叫空间。但要精确地定义这个词的意思，我们恐怕又会张口结舌。我们也许会说，空间就是那个我们可以在其中前后、左右、上下移动的包围着我们的东西。存在着三个互相垂直的独立方向，这是我们生活于其中的物理空间的最基本的性质之一；我们说，这个空间是三个方向的或三维的。空间中的任何位置都可以通过这三个方向来确定。如果我们来到一座陌生的城市，向旅店服务员询问如何找到某家知名商号的办事处，那么他可能会说：“向南走5个街区，然后向右拐再走2个街区，上到7层。”以上这三个数通常被称为坐标，在这个例子中规定了城市街道、楼层和原点（旅店厅堂）的关系。不过显然，同一地点的方位也可以由其他任何一点给出，只要使用一个能正确表达新原点与目的地之间关系的坐标系就行了。只要知道新坐标系相对于旧坐标系的位置，就可以通过简单的数学运算，用旧坐标表示出新坐标。这一过程被称为坐标变换。这里不妨补充一句，这三个坐标并不一定要由代表距离的数来表达；事实上在某些情况下，使用角坐标要更加方便。
例如，纽约的地址通常用一个由街和路所组成的直角坐标系来表示，而莫斯科的地址则要换成极坐标，因为这座古老的城市是围绕着克里姆林中心城堡发展起来的，它既有从城堡辐射出去的各个街道，又有若干条同心的环路。因此人们会很自然地说，某座房子位于比如克里姆林宫正北与西北正中间（north-north-west）的第20个街区。
直角坐标系和极坐标系的另一个经典例子是俄国的海军部大厦和华盛顿的美国陆军部五角大楼，这是二战期间参与战争工作的每一个人所熟知的。
图12 这几个例子表明如何能用三个坐标来表示空间中某一点的位置，其中有些坐标是距离，有些坐标是角度。但无论选择什么系统，我们都需要三个数据，因为我们讨论的是三维空间
我们这些拥有三维空间概念的人虽然很难想象高于三维的超空间（尽管我们稍后会看到，这样的空间是存在的），但却很容易想象低于三维的子空间。平面、球面或其他任何表面都是二维的子空间，因为只需两个数就可以描述表面上的任何一点。同样，线（直线或曲线）是一维的子空间，因为只需一个数就可以描述线上的某个位置。我们还可以说，点是零维的子空间，因为一个点内没有两个不同位置。不过，谁会对点感兴趣呢！
作为三维生物的我们觉得理解线和面的几何性质要比理解三维空间的几何性质容易得多，因为我们是三维空间的一部分，可以“从外面”观察线和面。因此，我们很容易理解曲线或曲面是什么意思，而一听说三维空间也可以弯曲便会大吃一惊。
但只要稍作练习，并且了解了“曲率”一词的真实含义，你就会发现弯曲三维空间的概念其实非常简单。到下一章结束时，（我们希望）你甚至能够轻松地谈论一个初看起来非常可怕的概念，那就是弯曲的四维空间。
不过在讨论那些内容之前，我们先来做一些有关普通三维空间、二维表面和一维的线的思维训练。
二、不量尺寸的几何学
根据我们中学时的记忆，几何学是关于空间量度的科学，18其内容主要是涉及各种距离和角度之间数值关系的一大堆定理（例如，著名的毕达哥拉斯定理就与直角三角形的三条边有关）。然而，空间的许多最基本性质并不需要测量长度或角度。讨论这些内容的几何学分支被称为位置分析（analysis situs）或拓扑学（topology）19。
兹举一个典型拓扑学的简单例子。考虑一个封闭的几何面，比如一个球面，它被一张线网划分成许多区域。为此，我们可以在球面上任选一些点，用不相交的线将它们连接起来。那么，这些点的数目、相邻区域之间边界线的数目以及区域的数目之间有什么关系呢？
首先，如果把这个圆球挤成南瓜状的扁球，或者拉成黄瓜状的长条，那么点、线、区域的数目显然还和圆球时一样。事实上，我们可以取随意挤压拉扯（除了切割或撕裂）一个橡皮球时所能得到的任何封闭表面，对上述问题的表述和回答都不会有任何改变。这与一般几何学中的数值关系（比如线的长度、面积、体积之间的关系）截然不同。事实上，如果把一个正方体拉扯成一个平行六面体，或者把球体压成饼形，这些关系会发生很大变化。
对于这个已经划分成若干个区域的球体，我们现在可以将它的每一个区域都压平，这样一来，该球体就变成了一个多面体（图13）；现在，不同区域的边界变成了多面体的边，原先选定的点则成了多面体的顶点。
图13 一个划分成若干区域的球体变形为一个多面体
现在，我们之前那个问题就可以重新表述成（其含义没有任何改变）：一个任意形状的多面体的顶点数、边数和面数之间是什么关系？
图14显示了五种正多面体（即所有面都有同样数目的边和顶点）和一个纯粹凭想象画出的不规则多面体。
图14 五种正多面体（只可能有这五种）和一个不规则的古怪多面体
我们可以数一数这些几何体各自拥有的顶点数、边数和面数，看看这三个数之间有没有什么关系？
通过计数，我们可以制得下表。
多面体名称
顶点数V
边数E
面数F
V+F
E+2
四面体
4
6
4
8
8
六面体
8
12
6
14
14
八面体
6
12
8
14
14
二十面体
12
30
20
32
32
十二面体
20
30
12
32
32
“古怪体”
21
45
26
47
47
初看起来，前三栏的数字好像没有什么明确的关系。但稍作研究就会发现，顶点数V与面数F之和总是比边数E大2。于是我们可以写出这样一个数学关系：
V+F=E+2。
这种关系是只适用于图14所示的这五种特殊多面体，还是适用于任何多面体呢？如果你试着画出几种不同的多面体，数出它们的顶点、边和面，你会发现上述关系依然成立。由此可见，V+F=E+2是一条一般的拓扑学定理，因为这个关系式并不依赖于对边长或面积的测量，而只涉及若干种不同的几何学单位（顶点、边、面）的数目。
我们方才发现的多面体的顶点数、边数和面数之间所满足的这一关系是17世纪著名的法国数学家笛卡儿（René Descartes）最先注意到的。稍后，另一位数学天才欧拉对它做出了严格证明，如今它被称为欧拉定理。
以下是对欧拉定理的完整证明，引自库朗（R. Courant）和罗宾斯（H. Robbins）的著作《数学是什么？》（What Is Mathematics?），20我们可以看看这种证明是如何完成的。
为了证明欧拉的公式，让我们把给定的简单多面体想象成中空的，其表面由橡皮薄膜制成［图15a］。如果切掉这个中空多面体的一个面，并把其余表面摊成一个平面［图15b］。在此过程中，多面体各个面的面积和各个边之间的角度当然都会改变。不过，该平面网络中顶点和边的数目仍与原多面体一样多，而由于切掉了一个面，多边形的数目将比原多面体的面数少一个。现在我们将证明，对于这个平面网络，V-E+F=1。于是，如果把切掉的那个面算进去，结果就成了：对于原多面体来说，V-E+F=2。
图15 对欧拉定理的证明。该图显示的是正方体的情况，但结论对于任何其他多面体都成立
首先，我们给这个平面网络中某个不是三角形的多边形画出对角线，从而把该平面网络“三角形化”。这样一来，E和F都会增加1，因此V-E+F的值保持不变。这样持续画出对角线，直到最后整个图形都由三角形所组成［图15c］。在这个三角形化的网络中，V-E+F仍和划分成三角形之前的值一样，因为画对角线并不改变这个值。
一些三角形的边位于该网络的边缘，其中有的三角形（例如△ABC）只有一条边位于边缘，有的三角形则可能有两条边位于边缘。任取一个这样的边缘三角形，把它的那些不同时属于其他三角形的部分移去［图15d］。这样一来，从△ABC，我们移去了AC边和面，留下了顶点A、B、C 和两条边AB、BC；从△DEF,我们移去了面、两条边DF、FE以及顶点F。
在△ABC类型的移去法中，E和F都减少1，而V不变，因此V-E+F保持不变。在△DEF 类型的移去法中，V减少1，E减少2，F减少1，因此V-E+F同样保持不变。以恰当的顺序逐步拿掉这些边缘三角形，直到只剩下一个三角形和它的三条边、三个顶点和一个面。对于这个简单的网络，V-E+F=3-3+1=1。但我们已经看到，随着三角形的减少，V-E+F并不发生改变，因此在原来那个平面网络中，V-E+F也必定等于1。而这个网络比原多面体少一个面，因此对于完整的多面体来说，V-E+F=2。这便证明了欧拉的公式。
欧拉公式的一个有趣推论是：只可能存在五种正多面体，即图14所示的那五种。
然而，如果认真检查一下前面几页的讨论，你也许会注意到，在绘制图14 所示的“各种不同的”多面体以及用数学推理来证明欧拉定理时，我们都作了一个隐秘的假设，导致我们对多面体的选择受到了很大限制。也就是说，我们只能选择那些没有任何孔眼的多面体。我们所说的孔眼并不是指橡皮球上的破洞那样的东西，而是类似于面包圈或橡皮轮胎当中那个闭合的窟窿。
我们只要看看图16就清楚了。这里有两个不同的几何体，它们和图14所示的几何体一样也是多面体。
现在我们来看看欧拉定理是否适用于这两个新的多面体。
图16 分别穿有一个和两个孔眼的两个立方体状的东西。其各个面不都是严格的矩形，但正如我们所看到的，这在拓扑学中无关紧要
对于第一个几何体，我们总共可以数出16个顶点、32条边和16个面；于是，V+F=32，而E+2=34，不对了。对于第二个几何体，我们总共可以数出28个顶点、46条边和30个面；V+F =58，E+2=48，同样不对。
为什么会这样呢？我们前面对欧拉定理所作的一般证明对于这两个例子为什么失效了？
问题当然在于，我们前面考虑的所有多面体都可以看成一个球胆或气球，而这里的新型中空多面体却更像轮胎或更复杂的橡胶制品。前面给出的数学证明无法运用于后面这类多面体，因为对于这类多面体，我们无法完成证明所必需的所有操作————“切掉这个中空多面体的一个面，并把其余表面摊成一个平面”。
如果拿一个球胆，用剪刀切掉它的一部分表面，你将很容易满足这个要求。但对于一个轮胎却无法做到。倘若看了图16还不相信这一点，你可以找个旧轮胎试试！
但不要以为对于这种更复杂的多面体，V、E和F之间就没有关系了。关系是有的，但有所不同。对于面包圈形的，或者说得更科学一些，对于环面形（torus）的多面体来说，V+F=E，而对于扭结形（pretzel）的多面体来说，V+F=E-2。一般说来，V+F=E+2-2N，其中N为孔眼的数目。
另一个典型的拓扑学问题与欧拉定理密切相关，那就是所谓的“四色问题”。假定有一个被划分成若干区域的球面，现在要给这些区域涂上颜色，要求任何两个相邻的区域（即拥有共同边界的区域）不能有同一种颜色。那么，要想完成这项工作，最少需要几种颜色呢？显然，两种颜色一般来说是不够用的，因为当三条边界交于一点时（比如美国地图上的弗吉尼亚州、西弗吉尼亚州和马里兰州，见图17），就需要三种不同的颜色。
图17 马里兰州、弗吉尼亚州和西弗吉尼亚州的地图（左）以及瑞士、法国、德国和意大利的地图（右）
要找到需要四种颜色的例子也不难，比如德国吞并奥地利时期的瑞士地图（图17）。21
但无论你怎么努力，也想象不出一张非得用四种以上颜色的地图，无论在球面上还是一张纸上。22看来，无论把地图构造得多么复杂，用四种颜色就足以避免边界处的任何相混了。
不过，如果这种说法是正确的，就应该能用数学方法证明它。然而，经过几代数学家的努力，仍然未能做到这一点。这是那种几乎无人怀疑、但也无人能够证明的数学陈述的一个典型案例。我们现在只能从数学上证明五种颜色总是够用的。这个证明是将欧拉关系应用于国家数、边界数和若干个国家交会的三重、四重等交点数而得出的。
这个证明非常复杂，写下来会离题太远，这里就不赘述了。读者可以在各种拓扑学著作中找到它，并且在沉思中度过一个愉快的夜晚（说不定还会一夜无眠）。如果有谁能够证明无需五种、只需四种颜色就足以给任何地图上色，或者，如果对这种说法的有效性产生怀疑，能够画出一幅四种颜色也不够用的地图，那么无论哪种情况成功了，他的大名都会经常出现在未来几个世纪的纯粹数学年鉴上。
颇具讽刺意味的是，这个上色问题在球面或平面的情况下怎么也求解不得，而对于面包圈形或扭结形等更为复杂的表面却能以相对简单的方式得到解决。例如，人们已经最终证明，无论对面包圈形的表面作怎样的划分，要使它的相邻区域的颜色有所不同，最多需要七种颜色。实际需要七种颜色的例子也已经给出。
读者如果不厌其烦，可以找一个充气轮胎和七种不同颜色的油漆给轮胎上色，使每一种颜色的区域都与另外六种颜色的区域相邻。做完之后，他就可以说他“对面包圈形的表面的确了如指掌”了。
三、把空间翻过来
到目前为止，我们一直在讨论各种表面也就是二维空间的拓扑学性质。但类似的问题显然也可以针对我们生存于其中的三维空间提出。这样一来，地图上色问题在三维情况下的推广就可以表述成：要把由不同材料制成的各种形状的镶嵌图案拼成一个空间，使得没有任何两块由同一种材料制成的镶嵌图案有共同的接触面，那么需要用多少种材料？
上色问题在球面或环面上的三维类比是什么呢？能不能想出一些不同寻常的空间，它们与普通空间的关系就如同球面或环面与普通平面的关系？初看起来，这个问题似乎没有什么意义。事实上，我们虽然很容易想到许多不同形状的表面，却往往认为只可能有一种三维空间，即我们生活于其中的那个熟悉的物理空间。但这种看法是一种危险的幻觉。只要稍微发动一下想象力，我们就能想出与欧几里得几何教科书中所讲空间截然不同的一些三维空间。
设想这类古怪空间的主要困难在于，我们本身是三维生物，我们只能“从内部”打量这个空间，而不能像在观察各种怪异表面时那样“从外部”去打量。不过，经过一番思维训练，我们是能够征服这些怪异空间的。
我们首先来建立一个性质与球面相似的三维空间模型。当然，球面的主要性质是：它没有边界，但有有限的面积；它转过来自我封闭。我们能否设想一个三维空间，它以类似的方式自我封闭，从而有有限的体积而无明确边界呢？
考虑两个球体，它们各自被自己的球面所限，就像苹果被自己的外皮所限一样。现在，设想这两个球体“相互穿过”，沿外表面连在一起。当然，这并不是说我们能把两个物体（比如两个苹果）挤得相互穿过，从而使其表皮粘连在一起。苹果能被挤碎，但永远也不会相互穿过。
或者，我们可以设想有个苹果被虫子吃出了错综复杂的通道。假定有黑色和白色两种虫子，它们彼此厌恶，在苹果内的各自通道绝不相通，尽管可以始于苹果皮上的相邻两点。一个被这两种虫子蛀来蛀去的苹果最后会像图18那样，出现两个紧密交缠、布满整个苹果内部的通道网络。然而，尽管黑虫和白虫的通道可以很接近，要想从一半迷宫走到另一半迷宫，却必须先到表面才行。如果设想通道变得越来越细，数目越来越多，最后苹果内将会有两个互相交叠的独立空间，它们仅在共同表面上相连。
图18
如果你不喜欢虫子，可以设想一种类似于纽约世界博览会的巨型球体建筑中那种双走廊双楼梯系统。设想每一套楼梯系统都盘旋穿过整个球体，但要从其中一套系统的某个点到达另一套系统的临近点，只能先走到球面上两套系统的会合处，然后再往回走。我们说这两个球体互相交叠而彼此不相干涉，你的朋友可能离你很近，但要见到他、握个手，你必须兜很大的圈子！需要注意的是，这两套楼梯系统的连接点其实与球内的任何其他点并无不同，因为总可以使整个结构变形，把连接点推到里面，把以前里面的点弄到表面。关于我们的模型，第二点要注意的是，虽然两套通道的总长度是有限的，但没有“死胡同”。你可以不断穿过走廊和楼梯，而不会被墙壁或栅栏挡住；如果你走得足够远，你最终一定能回到你的出发点。从外面审视整个结构，我们可以说，在这迷宫中穿行的人最终总会回到其出发点，因为楼梯会逐渐转到反方向。但对于处在内部而不知“外面”为何物的人来说，空间将表现为有限尺寸而无明确边界的东西。我们将在后面看到，这种没有明显边界但并非无限的“自我封闭的三维空间”在讨论整个宇宙的性质时是非常有用的。事实上，用最强大的望远镜所作的观测似乎表明，在如此遥远的距离处，空间开始弯曲，显示出一种返折回来自我封闭的明显趋势，就像苹果被虫子蛀出通道的那个例子一样。但在讨论这些令人兴奋的问题之前，我们还得再了解一下空间的其他性质。
关于苹果和虫子，我们还没有讲完。下一个问题是：能否把一个被虫子蛀过的苹果变成一个面包圈呢？当然，这并不是说要使苹果尝起来像面包圈，而只是说让它看起来像面包圈；我们在讨论几何学，而不是烹饪术。让我们取一个上一节所讨论的“双苹果”，也就是两个“相互穿过”且表皮“粘连在一起”的新鲜苹果。假设有一只虫子在其中一个苹果中蛀出了一条环形通道，如图19所示。请记住，是在一个苹果中蛀的，所以通道外的每一点都是属于两个苹果的双重点，而通道内则只有那个未被虫蛀过的苹果的物质。这样一来，我们这个“双苹果”就有了一个由通道内壁组成的自由面（图19a）。
图19 如何将一个被虫子蛀过的双苹果变成一个面包圈。不是魔术，只有拓扑！
你能改变这个受损苹果的形状，将它变成一个面包圈吗？当然，这要假设苹果有很大的可塑性，可以随意捏成什么样子，唯一的条件是苹果不会发生破裂。为了便于操作，我们可以把苹果切开，只要在完成所需的变形之后还能将切口粘起来。
首先，我们把形成“双苹果”的两个部分的表皮解开，从而将两个苹果分开（图19b）。为了便于在接下来的各个步骤中进行追踪，我们用Ⅰ和Ⅰ′这两个数字来表示这两张剥离开的表皮，最后我们还会把它们重新粘起来。接着，将那个包含着虫蛀通道的苹果切开（图19c），这便切出了两个新的面，分别标记为Ⅱ、Ⅱ′和Ⅲ、Ⅲ′，以后还会把它们粘回去。通道的自由面也显示出来了，它必定会成为面包圈的自由面。现在，让我们按照图19d所示来拉伸这几个碎块，这个自由面被拉伸成了很大一块（不过按照我们的假定，这里使用的材料可以任意伸缩！）。与此同时，切开的面Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的尺寸都减小了。当我们对“双苹果”的前一半做手术时，也必定会把另一半压缩成樱桃大小。现在，我们要开始沿着切口往回粘了。第一步很容易，先把Ⅲ、Ⅲ′粘在一起，得到图19e所示的形状。再把缩小的苹果放在由此形成的两钳口之间。收拢两钳口，球面Ⅰ将与Ⅰ′重新粘在一起，切面Ⅱ和Ⅱ′也将合在一起。这样，我们便得到了一个光滑而精致的面包圈。
做这一切有什么意义呢？
没有什么意义，只是让你在想象中做做几何学练习，这种思维体操有助于你理解弯曲空间和自我封闭空间这样的异乎寻常的东西。
如果你愿意再扩展一下想象力，我们可以看看上述做法的一个“实际应用”。
你大概从未想过，你的身体也曾有过面包圈的形状吧。事实上，任何生命体在其发育的最初阶段（胚胎阶段）都要经历所谓的“原肠胚”阶段。在这个阶段中，它呈球形，一条宽阔的通道横穿其中。食物从通道的一端进入，待生命体摄取了有用成分之后，剩下的东西从另一端排出。在发育成熟的生命体中，内部通道变得更细、更复杂，但主要原则依然不变：面包圈形的所有几何性质都没有改变。
好了，既然你也是个面包圈，现在尝试逆着图19的方式作个变形————（在思想中！）努力把你的身体变成一个拥有内部通道的双苹果。特别是，你会发现，你身体中彼此部分交叠的不同部分将会形成“双苹果”的果体，而包括地球、月亮、太阳和星辰在内的整个宇宙将被挤入内部的圆形通道！
试着画画看它是什么样子。如果你画得不错，连达利（Salvado Dali）本人也要承认你的超现实主义画作技高一筹了！（图20）
图20 里面翻到外面的宇宙。这幅超现实主义画作画的是一个人边在地球表面上行走，边抬头看星星。这幅画按照图19所示的方法作了拓扑变换。于是，地球、太阳和星辰都挤在贯穿人体的一个狭窄通道中，周围则是他的内部器官
虽然本节已经很长，但在结束它之前，我们还要讨论一下左手系、右手系物体及其与空间一般性质的关系。介绍这个问题最方便的办法是从一副手套谈起。比较一下一副手套（图21），你会发现它们在各方面都是相同的，但有一个重大差异：你无法把左手套戴到右手上，也无法把右手套戴到左手上。你可以随意将它们扭来转去，但左手套永远是左手套，右手套永远是右手套。左手系物体与右手系物体的这种区别还可见于鞋子的形状、汽车的转向机构（美国的和英国的）、高尔夫球棍以及其他许多物体。
图21 右手系和左手系物体看起来非常相像，但极为不同
另一方面，像礼帽、网球拍等许多东西就没有显示出这种差别。没有人会傻到要去商店订购几只左手用的茶杯。如果有人让你找邻居借一个左手用的活动扳手，那肯定是个恶作剧。那么，这两种东西有什么区别呢？稍作思考你就会注意到，像礼帽和茶杯这样的东西都有一个我们所谓的对称平面，沿这个平面可将它们切成两个相等的部分。而手套和鞋子就没有这样的对称平面。无论你如何努力，你都无法把一只手套切成两个相同的部分。如果某个物体没有对称平面，或如我们所说是非对称的，那么它就有左手系和右手系两种类型。其差别不仅表现于手套或高尔夫球杆这样的人造物体，在自然界中也很常见。例如，存在着两种蜗牛，它们在所有其他方面都相同，唯独建房子的方式不同：一种蜗牛的壳沿顺时针盘旋，另一种则沿逆时针盘旋。甚至连分子这种组成各种不同物质的微粒，也常常有左旋和右旋两种形态，就像左、右手套以及顺时针和逆时针盘旋的蜗牛壳一样。当然，你是看不见分子的，但这种不对称性可以显示于这些物质的晶体形态和某些光学性质。例如，糖有左旋糖和右旋糖两类；还有两种吃糖的细菌，每种细菌只吃与之对应的那种糖，信不信由你。
如前所述，将一个右手系物体（例如一只右手套）变成左手系物体似乎是完全不可能的。但果真如此吗？我们能否设想出某种可以做到这一点的奇妙空间呢？为了回答这个问题，让我们从生活在面上的扁平居民的角度来考察它，我们可以从更优越的三维地位来观察这些居民。图22描绘了只有两维空间的扁平国的可能居民的几个例子。那个手提一串葡萄的站立者可称为“正面人”，因为他只有“正面”而没有“侧面”。而他身边的动物则是一头“侧面驴”，或者说得更确切些，是一头“右侧面驴”。当然，我们也能画出一头“左侧面驴”。由于这两头驴都被限定于这个面上，所以从二维的观点来看，它们的不同就如同我们三维空间中的左右手套。你无法将“左驴”与“右驴”交叠起来，因为要使它们鼻子挨着鼻子、尾巴挨着尾巴，就得把其中一头驴子翻个个儿，这样一来，它可就四脚朝天，无法站立咯。
图22 生活在平面上的二维“影子生物”的样子。这种二维生物很不“现实”。此人有正面而无侧面，他无法将手里的葡萄送入口中。那头驴子倒可以吃到葡萄，但它只能向右走，要想左移只能退着走。驴子退着走倒并非罕见，但毕竟不太像样
不过，若将一头驴子从面上取出，在空间中翻转一下再放回去，两头驴子就会变得一样。同理也可以说，若把一只右手套沿第四方向拿出我们这个空间，适当地旋转一下再放回去，就可将它变成一只左手套。但我们的物理空间并无第四方向，所以只能认为上述方法是不可能做到的。那么，有没有别的办法呢？
现在，我们还是回到二维世界，不过不是考虑图22所示的普通平面，而是考虑所谓“莫比乌斯面”（surface of Möbius）的性质。这种面的名字得自于一个世纪以前最早对它进行研究的德国数学家。拿一个长长的纸条，将其一端拧个弯，然后把两端粘成一个环，便轻而易举地得到了莫比乌斯面。图23显示了这个环的具体做法。这种面有许多特殊性质，其中一个性质很容易发现：拿剪刀沿一条与边缘平行的线（沿着图23中的箭头）剪一圈，你一定会预期这样会把这个环剪成两个分离的环。但做了之后你就会发现猜错了：你得到的不是两个环，而是一个环，它是原有环的两倍长、一半宽！
图23 莫比乌斯面和克莱因瓶
让我们看看一头影子驴沿着莫比乌斯面走一圈会发生什么。假定它从位置1（图23）出发，此时看它是头“左侧面驴”。从图上可以清楚地看出，它走啊走，经过了位置2和位置3，最后又接近了出发点。但不仅你感到奇怪，它也感到纳闷，自己竟然处在蹄子朝上的古怪位置（位置4）。当然，它能在面上转一下使蹄子落地，但这样一来，头的朝向又不对了。
简而言之，沿着莫比乌斯面走一圈之后，我们这头“左侧面驴”变成了“右侧面驴”。别忘了，在此过程中，驴子一直处在面上而未被拿出来在空间翻转。于是我们发现，在一个扭曲的面上，只要绕过扭曲处，左手系物体就可以变成右手系物体，反之亦然。图23所示的莫比乌斯带是被称为“克莱因瓶”（如图23右边所示）的更一般的面的一部分。这种瓶只有一个面，自我封闭而没有明显的边界。如果这在二维的面上是可能的，那么同样的情况也可以在三维空间中发生，只要以恰当的方式将它扭曲。当然，设想空间中的莫比乌斯扭曲绝非易事。我们不能像看驴所在的面那样从外部来看我们的空间，当我们身在其中时，看清楚事物总是很难的。但天文空间自我封闭并以莫比乌斯的方式发生扭曲，这并非不可能。
如果真是如此，那么宇宙旅行家回到地球时，其心脏将位于胸腔右侧。手套和鞋子的制造商或许能够得益于生产过程的简化：他们只需制造同一种鞋子和手套，然后把一半物品装入飞船环绕宇宙一周，这样就能满足另一半的手脚所需了。
我们就用这个荒诞的奇思异想来结束关于不寻常空间的不寻常性质的讨论吧。
一、维数和坐标
我们都知道什么叫空间。但要精确地定义这个词的意思，我们恐怕又会张口结舌。我们也许会说，空间就是那个我们可以在其中前后、左右、上下移动的包围着我们的东西。存在着三个互相垂直的独立方向，这是我们生活于其中的物理空间的最基本的性质之一；我们说，这个空间是三个方向的或三维的。空间中的任何位置都可以通过这三个方向来确定。如果我们来到一座陌生的城市，向旅店服务员询问如何找到某家知名商号的办事处，那么他可能会说：“向南走5个街区，然后向右拐再走2个街区，上到7层。”以上这三个数通常被称为坐标，在这个例子中规定了城市街道、楼层和原点（旅店厅堂）的关系。不过显然，同一地点的方位也可以由其他任何一点给出，只要使用一个能正确表达新原点与目的地之间关系的坐标系就行了。只要知道新坐标系相对于旧坐标系的位置，就可以通过简单的数学运算，用旧坐标表示出新坐标。这一过程被称为坐标变换。这里不妨补充一句，这三个坐标并不一定要由代表距离的数来表达；事实上在某些情况下，使用角坐标要更加方便。
例如，纽约的地址通常用一个由街和路所组成的直角坐标系来表示，而莫斯科的地址则要换成极坐标，因为这座古老的城市是围绕着克里姆林中心城堡发展起来的，它既有从城堡辐射出去的各个街道，又有若干条同心的环路。因此人们会很自然地说，某座房子位于比如克里姆林宫正北与西北正中间（north-north-west）的第20个街区。
直角坐标系和极坐标系的另一个经典例子是俄国的海军部大厦和华盛顿的美国陆军部五角大楼，这是二战期间参与战争工作的每一个人所熟知的。
图12 这几个例子表明如何能用三个坐标来表示空间中某一点的位置，其中有些坐标是距离，有些坐标是角度。但无论选择什么系统，我们都需要三个数据，因为我们讨论的是三维空间
我们这些拥有三维空间概念的人虽然很难想象高于三维的超空间（尽管我们稍后会看到，这样的空间是存在的），但却很容易想象低于三维的子空间。平面、球面或其他任何表面都是二维的子空间，因为只需两个数就可以描述表面上的任何一点。同样，线（直线或曲线）是一维的子空间，因为只需一个数就可以描述线上的某个位置。我们还可以说，点是零维的子空间，因为一个点内没有两个不同位置。不过，谁会对点感兴趣呢！
作为三维生物的我们觉得理解线和面的几何性质要比理解三维空间的几何性质容易得多，因为我们是三维空间的一部分，可以“从外面”观察线和面。因此，我们很容易理解曲线或曲面是什么意思，而一听说三维空间也可以弯曲便会大吃一惊。
但只要稍作练习，并且了解了“曲率”一词的真实含义，你就会发现弯曲三维空间的概念其实非常简单。到下一章结束时，（我们希望）你甚至能够轻松地谈论一个初看起来非常可怕的概念，那就是弯曲的四维空间。
不过在讨论那些内容之前，我们先来做一些有关普通三维空间、二维表面和一维的线的思维训练。
二、不量尺寸的几何学
根据我们中学时的记忆，几何学是关于空间量度的科学，18其内容主要是涉及各种距离和角度之间数值关系的一大堆定理（例如，著名的毕达哥拉斯定理就与直角三角形的三条边有关）。然而，空间的许多最基本性质并不需要测量长度或角度。讨论这些内容的几何学分支被称为位置分析（analysis situs）或拓扑学（topology）19。
兹举一个典型拓扑学的简单例子。考虑一个封闭的几何面，比如一个球面，它被一张线网划分成许多区域。为此，我们可以在球面上任选一些点，用不相交的线将它们连接起来。那么，这些点的数目、相邻区域之间边界线的数目以及区域的数目之间有什么关系呢？
首先，如果把这个圆球挤成南瓜状的扁球，或者拉成黄瓜状的长条，那么点、线、区域的数目显然还和圆球时一样。事实上，我们可以取随意挤压拉扯（除了切割或撕裂）一个橡皮球时所能得到的任何封闭表面，对上述问题的表述和回答都不会有任何改变。这与一般几何学中的数值关系（比如线的长度、面积、体积之间的关系）截然不同。事实上，如果把一个正方体拉扯成一个平行六面体，或者把球体压成饼形，这些关系会发生很大变化。
对于这个已经划分成若干个区域的球体，我们现在可以将它的每一个区域都压平，这样一来，该球体就变成了一个多面体（图13）；现在，不同区域的边界变成了多面体的边，原先选定的点则成了多面体的顶点。
图13 一个划分成若干区域的球体变形为一个多面体
现在，我们之前那个问题就可以重新表述成（其含义没有任何改变）：一个任意形状的多面体的顶点数、边数和面数之间是什么关系？
图14显示了五种正多面体（即所有面都有同样数目的边和顶点）和一个纯粹凭想象画出的不规则多面体。
图14 五种正多面体（只可能有这五种）和一个不规则的古怪多面体
我们可以数一数这些几何体各自拥有的顶点数、边数和面数，看看这三个数之间有没有什么关系？
通过计数，我们可以制得下表。
多面体名称
顶点数V
边数E
面数F
V+F
E+2
四面体
4
6
4
8
8
六面体
8
12
6
14
14
八面体
6
12
8
14
14
二十面体
12
30
20
32
32
十二面体
20
30
12
32
32
“古怪体”
21
45
26
47
47
初看起来，前三栏的数字好像没有什么明确的关系。但稍作研究就会发现，顶点数V与面数F之和总是比边数E大2。于是我们可以写出这样一个数学关系：
V+F=E+2。
这种关系是只适用于图14所示的这五种特殊多面体，还是适用于任何多面体呢？如果你试着画出几种不同的多面体，数出它们的顶点、边和面，你会发现上述关系依然成立。由此可见，V+F=E+2是一条一般的拓扑学定理，因为这个关系式并不依赖于对边长或面积的测量，而只涉及若干种不同的几何学单位（顶点、边、面）的数目。
我们方才发现的多面体的顶点数、边数和面数之间所满足的这一关系是17世纪著名的法国数学家笛卡儿（René Descartes）最先注意到的。稍后，另一位数学天才欧拉对它做出了严格证明，如今它被称为欧拉定理。
以下是对欧拉定理的完整证明，引自库朗（R. Courant）和罗宾斯（H. Robbins）的著作《数学是什么？》（What Is Mathematics?），20我们可以看看这种证明是如何完成的。
为了证明欧拉的公式，让我们把给定的简单多面体想象成中空的，其表面由橡皮薄膜制成［图15a］。如果切掉这个中空多面体的一个面，并把其余表面摊成一个平面［图15b］。在此过程中，多面体各个面的面积和各个边之间的角度当然都会改变。不过，该平面网络中顶点和边的数目仍与原多面体一样多，而由于切掉了一个面，多边形的数目将比原多面体的面数少一个。现在我们将证明，对于这个平面网络，V-E+F=1。于是，如果把切掉的那个面算进去，结果就成了：对于原多面体来说，V-E+F=2。
图15 对欧拉定理的证明。该图显示的是正方体的情况，但结论对于任何其他多面体都成立
首先，我们给这个平面网络中某个不是三角形的多边形画出对角线，从而把该平面网络“三角形化”。这样一来，E和F都会增加1，因此V-E+F的值保持不变。这样持续画出对角线，直到最后整个图形都由三角形所组成［图15c］。在这个三角形化的网络中，V-E+F仍和划分成三角形之前的值一样，因为画对角线并不改变这个值。
一些三角形的边位于该网络的边缘，其中有的三角形（例如△ABC）只有一条边位于边缘，有的三角形则可能有两条边位于边缘。任取一个这样的边缘三角形，把它的那些不同时属于其他三角形的部分移去［图15d］。这样一来，从△ABC，我们移去了AC边和面，留下了顶点A、B、C 和两条边AB、BC；从△DEF,我们移去了面、两条边DF、FE以及顶点F。
在△ABC类型的移去法中，E和F都减少1，而V不变，因此V-E+F保持不变。在△DEF 类型的移去法中，V减少1，E减少2，F减少1，因此V-E+F同样保持不变。以恰当的顺序逐步拿掉这些边缘三角形，直到只剩下一个三角形和它的三条边、三个顶点和一个面。对于这个简单的网络，V-E+F=3-3+1=1。但我们已经看到，随着三角形的减少，V-E+F并不发生改变，因此在原来那个平面网络中，V-E+F也必定等于1。而这个网络比原多面体少一个面，因此对于完整的多面体来说，V-E+F=2。这便证明了欧拉的公式。
欧拉公式的一个有趣推论是：只可能存在五种正多面体，即图14所示的那五种。
然而，如果认真检查一下前面几页的讨论，你也许会注意到，在绘制图14 所示的“各种不同的”多面体以及用数学推理来证明欧拉定理时，我们都作了一个隐秘的假设，导致我们对多面体的选择受到了很大限制。也就是说，我们只能选择那些没有任何孔眼的多面体。我们所说的孔眼并不是指橡皮球上的破洞那样的东西，而是类似于面包圈或橡皮轮胎当中那个闭合的窟窿。
我们只要看看图16就清楚了。这里有两个不同的几何体，它们和图14所示的几何体一样也是多面体。
现在我们来看看欧拉定理是否适用于这两个新的多面体。
图16 分别穿有一个和两个孔眼的两个立方体状的东西。其各个面不都是严格的矩形，但正如我们所看到的，这在拓扑学中无关紧要
对于第一个几何体，我们总共可以数出16个顶点、32条边和16个面；于是，V+F=32，而E+2=34，不对了。对于第二个几何体，我们总共可以数出28个顶点、46条边和30个面；V+F =58，E+2=48，同样不对。
为什么会这样呢？我们前面对欧拉定理所作的一般证明对于这两个例子为什么失效了？
问题当然在于，我们前面考虑的所有多面体都可以看成一个球胆或气球，而这里的新型中空多面体却更像轮胎或更复杂的橡胶制品。前面给出的数学证明无法运用于后面这类多面体，因为对于这类多面体，我们无法完成证明所必需的所有操作————“切掉这个中空多面体的一个面，并把其余表面摊成一个平面”。
如果拿一个球胆，用剪刀切掉它的一部分表面，你将很容易满足这个要求。但对于一个轮胎却无法做到。倘若看了图16还不相信这一点，你可以找个旧轮胎试试！
但不要以为对于这种更复杂的多面体，V、E和F之间就没有关系了。关系是有的，但有所不同。对于面包圈形的，或者说得更科学一些，对于环面形（torus）的多面体来说，V+F=E，而对于扭结形（pretzel）的多面体来说，V+F=E-2。一般说来，V+F=E+2-2N，其中N为孔眼的数目。
另一个典型的拓扑学问题与欧拉定理密切相关，那就是所谓的“四色问题”。假定有一个被划分成若干区域的球面，现在要给这些区域涂上颜色，要求任何两个相邻的区域（即拥有共同边界的区域）不能有同一种颜色。那么，要想完成这项工作，最少需要几种颜色呢？显然，两种颜色一般来说是不够用的，因为当三条边界交于一点时（比如美国地图上的弗吉尼亚州、西弗吉尼亚州和马里兰州，见图17），就需要三种不同的颜色。
图17 马里兰州、弗吉尼亚州和西弗吉尼亚州的地图（左）以及瑞士、法国、德国和意大利的地图（右）
要找到需要四种颜色的例子也不难，比如德国吞并奥地利时期的瑞士地图（图17）。21
但无论你怎么努力，也想象不出一张非得用四种以上颜色的地图，无论在球面上还是一张纸上。22看来，无论把地图构造得多么复杂，用四种颜色就足以避免边界处的任何相混了。
不过，如果这种说法是正确的，就应该能用数学方法证明它。然而，经过几代数学家的努力，仍然未能做到这一点。这是那种几乎无人怀疑、但也无人能够证明的数学陈述的一个典型案例。我们现在只能从数学上证明五种颜色总是够用的。这个证明是将欧拉关系应用于国家数、边界数和若干个国家交会的三重、四重等交点数而得出的。
这个证明非常复杂，写下来会离题太远，这里就不赘述了。读者可以在各种拓扑学著作中找到它，并且在沉思中度过一个愉快的夜晚（说不定还会一夜无眠）。如果有谁能够证明无需五种、只需四种颜色就足以给任何地图上色，或者，如果对这种说法的有效性产生怀疑，能够画出一幅四种颜色也不够用的地图，那么无论哪种情况成功了，他的大名都会经常出现在未来几个世纪的纯粹数学年鉴上。
颇具讽刺意味的是，这个上色问题在球面或平面的情况下怎么也求解不得，而对于面包圈形或扭结形等更为复杂的表面却能以相对简单的方式得到解决。例如，人们已经最终证明，无论对面包圈形的表面作怎样的划分，要使它的相邻区域的颜色有所不同，最多需要七种颜色。实际需要七种颜色的例子也已经给出。
读者如果不厌其烦，可以找一个充气轮胎和七种不同颜色的油漆给轮胎上色，使每一种颜色的区域都与另外六种颜色的区域相邻。做完之后，他就可以说他“对面包圈形的表面的确了如指掌”了。
三、把空间翻过来
到目前为止，我们一直在讨论各种表面也就是二维空间的拓扑学性质。但类似的问题显然也可以针对我们生存于其中的三维空间提出。这样一来，地图上色问题在三维情况下的推广就可以表述成：要把由不同材料制成的各种形状的镶嵌图案拼成一个空间，使得没有任何两块由同一种材料制成的镶嵌图案有共同的接触面，那么需要用多少种材料？
上色问题在球面或环面上的三维类比是什么呢？能不能想出一些不同寻常的空间，它们与普通空间的关系就如同球面或环面与普通平面的关系？初看起来，这个问题似乎没有什么意义。事实上，我们虽然很容易想到许多不同形状的表面，却往往认为只可能有一种三维空间，即我们生活于其中的那个熟悉的物理空间。但这种看法是一种危险的幻觉。只要稍微发动一下想象力，我们就能想出与欧几里得几何教科书中所讲空间截然不同的一些三维空间。
设想这类古怪空间的主要困难在于，我们本身是三维生物，我们只能“从内部”打量这个空间，而不能像在观察各种怪异表面时那样“从外部”去打量。不过，经过一番思维训练，我们是能够征服这些怪异空间的。
我们首先来建立一个性质与球面相似的三维空间模型。当然，球面的主要性质是：它没有边界，但有有限的面积；它转过来自我封闭。我们能否设想一个三维空间，它以类似的方式自我封闭，从而有有限的体积而无明确边界呢？
考虑两个球体，它们各自被自己的球面所限，就像苹果被自己的外皮所限一样。现在，设想这两个球体“相互穿过”，沿外表面连在一起。当然，这并不是说我们能把两个物体（比如两个苹果）挤得相互穿过，从而使其表皮粘连在一起。苹果能被挤碎，但永远也不会相互穿过。
或者，我们可以设想有个苹果被虫子吃出了错综复杂的通道。假定有黑色和白色两种虫子，它们彼此厌恶，在苹果内的各自通道绝不相通，尽管可以始于苹果皮上的相邻两点。一个被这两种虫子蛀来蛀去的苹果最后会像图18那样，出现两个紧密交缠、布满整个苹果内部的通道网络。然而，尽管黑虫和白虫的通道可以很接近，要想从一半迷宫走到另一半迷宫，却必须先到表面才行。如果设想通道变得越来越细，数目越来越多，最后苹果内将会有两个互相交叠的独立空间，它们仅在共同表面上相连。
图18
如果你不喜欢虫子，可以设想一种类似于纽约世界博览会的巨型球体建筑中那种双走廊双楼梯系统。设想每一套楼梯系统都盘旋穿过整个球体，但要从其中一套系统的某个点到达另一套系统的临近点，只能先走到球面上两套系统的会合处，然后再往回走。我们说这两个球体互相交叠而彼此不相干涉，你的朋友可能离你很近，但要见到他、握个手，你必须兜很大的圈子！需要注意的是，这两套楼梯系统的连接点其实与球内的任何其他点并无不同，因为总可以使整个结构变形，把连接点推到里面，把以前里面的点弄到表面。关于我们的模型，第二点要注意的是，虽然两套通道的总长度是有限的，但没有“死胡同”。你可以不断穿过走廊和楼梯，而不会被墙壁或栅栏挡住；如果你走得足够远，你最终一定能回到你的出发点。从外面审视整个结构，我们可以说，在这迷宫中穿行的人最终总会回到其出发点，因为楼梯会逐渐转到反方向。但对于处在内部而不知“外面”为何物的人来说，空间将表现为有限尺寸而无明确边界的东西。我们将在后面看到，这种没有明显边界但并非无限的“自我封闭的三维空间”在讨论整个宇宙的性质时是非常有用的。事实上，用最强大的望远镜所作的观测似乎表明，在如此遥远的距离处，空间开始弯曲，显示出一种返折回来自我封闭的明显趋势，就像苹果被虫子蛀出通道的那个例子一样。但在讨论这些令人兴奋的问题之前，我们还得再了解一下空间的其他性质。
关于苹果和虫子，我们还没有讲完。下一个问题是：能否把一个被虫子蛀过的苹果变成一个面包圈呢？当然，这并不是说要使苹果尝起来像面包圈，而只是说让它看起来像面包圈；我们在讨论几何学，而不是烹饪术。让我们取一个上一节所讨论的“双苹果”，也就是两个“相互穿过”且表皮“粘连在一起”的新鲜苹果。假设有一只虫子在其中一个苹果中蛀出了一条环形通道，如图19所示。请记住，是在一个苹果中蛀的，所以通道外的每一点都是属于两个苹果的双重点，而通道内则只有那个未被虫蛀过的苹果的物质。这样一来，我们这个“双苹果”就有了一个由通道内壁组成的自由面（图19a）。
图19 如何将一个被虫子蛀过的双苹果变成一个面包圈。不是魔术，只有拓扑！
你能改变这个受损苹果的形状，将它变成一个面包圈吗？当然，这要假设苹果有很大的可塑性，可以随意捏成什么样子，唯一的条件是苹果不会发生破裂。为了便于操作，我们可以把苹果切开，只要在完成所需的变形之后还能将切口粘起来。
首先，我们把形成“双苹果”的两个部分的表皮解开，从而将两个苹果分开（图19b）。为了便于在接下来的各个步骤中进行追踪，我们用Ⅰ和Ⅰ′这两个数字来表示这两张剥离开的表皮，最后我们还会把它们重新粘起来。接着，将那个包含着虫蛀通道的苹果切开（图19c），这便切出了两个新的面，分别标记为Ⅱ、Ⅱ′和Ⅲ、Ⅲ′，以后还会把它们粘回去。通道的自由面也显示出来了，它必定会成为面包圈的自由面。现在，让我们按照图19d所示来拉伸这几个碎块，这个自由面被拉伸成了很大一块（不过按照我们的假定，这里使用的材料可以任意伸缩！）。与此同时，切开的面Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的尺寸都减小了。当我们对“双苹果”的前一半做手术时，也必定会把另一半压缩成樱桃大小。现在，我们要开始沿着切口往回粘了。第一步很容易，先把Ⅲ、Ⅲ′粘在一起，得到图19e所示的形状。再把缩小的苹果放在由此形成的两钳口之间。收拢两钳口，球面Ⅰ将与Ⅰ′重新粘在一起，切面Ⅱ和Ⅱ′也将合在一起。这样，我们便得到了一个光滑而精致的面包圈。
做这一切有什么意义呢？
没有什么意义，只是让你在想象中做做几何学练习，这种思维体操有助于你理解弯曲空间和自我封闭空间这样的异乎寻常的东西。
如果你愿意再扩展一下想象力，我们可以看看上述做法的一个“实际应用”。
你大概从未想过，你的身体也曾有过面包圈的形状吧。事实上，任何生命体在其发育的最初阶段（胚胎阶段）都要经历所谓的“原肠胚”阶段。在这个阶段中，它呈球形，一条宽阔的通道横穿其中。食物从通道的一端进入，待生命体摄取了有用成分之后，剩下的东西从另一端排出。在发育成熟的生命体中，内部通道变得更细、更复杂，但主要原则依然不变：面包圈形的所有几何性质都没有改变。
好了，既然你也是个面包圈，现在尝试逆着图19的方式作个变形————（在思想中！）努力把你的身体变成一个拥有内部通道的双苹果。特别是，你会发现，你身体中彼此部分交叠的不同部分将会形成“双苹果”的果体，而包括地球、月亮、太阳和星辰在内的整个宇宙将被挤入内部的圆形通道！
试着画画看它是什么样子。如果你画得不错，连达利（Salvado Dali）本人也要承认你的超现实主义画作技高一筹了！（图20）
图20 里面翻到外面的宇宙。这幅超现实主义画作画的是一个人边在地球表面上行走，边抬头看星星。这幅画按照图19所示的方法作了拓扑变换。于是，地球、太阳和星辰都挤在贯穿人体的一个狭窄通道中，周围则是他的内部器官
虽然本节已经很长，但在结束它之前，我们还要讨论一下左手系、右手系物体及其与空间一般性质的关系。介绍这个问题最方便的办法是从一副手套谈起。比较一下一副手套（图21），你会发现它们在各方面都是相同的，但有一个重大差异：你无法把左手套戴到右手上，也无法把右手套戴到左手上。你可以随意将它们扭来转去，但左手套永远是左手套，右手套永远是右手套。左手系物体与右手系物体的这种区别还可见于鞋子的形状、汽车的转向机构（美国的和英国的）、高尔夫球棍以及其他许多物体。
图21 右手系和左手系物体看起来非常相像，但极为不同
另一方面，像礼帽、网球拍等许多东西就没有显示出这种差别。没有人会傻到要去商店订购几只左手用的茶杯。如果有人让你找邻居借一个左手用的活动扳手，那肯定是个恶作剧。那么，这两种东西有什么区别呢？稍作思考你就会注意到，像礼帽和茶杯这样的东西都有一个我们所谓的对称平面，沿这个平面可将它们切成两个相等的部分。而手套和鞋子就没有这样的对称平面。无论你如何努力，你都无法把一只手套切成两个相同的部分。如果某个物体没有对称平面，或如我们所说是非对称的，那么它就有左手系和右手系两种类型。其差别不仅表现于手套或高尔夫球杆这样的人造物体，在自然界中也很常见。例如，存在着两种蜗牛，它们在所有其他方面都相同，唯独建房子的方式不同：一种蜗牛的壳沿顺时针盘旋，另一种则沿逆时针盘旋。甚至连分子这种组成各种不同物质的微粒，也常常有左旋和右旋两种形态，就像左、右手套以及顺时针和逆时针盘旋的蜗牛壳一样。当然，你是看不见分子的，但这种不对称性可以显示于这些物质的晶体形态和某些光学性质。例如，糖有左旋糖和右旋糖两类；还有两种吃糖的细菌，每种细菌只吃与之对应的那种糖，信不信由你。
如前所述，将一个右手系物体（例如一只右手套）变成左手系物体似乎是完全不可能的。但果真如此吗？我们能否设想出某种可以做到这一点的奇妙空间呢？为了回答这个问题，让我们从生活在面上的扁平居民的角度来考察它，我们可以从更优越的三维地位来观察这些居民。图22描绘了只有两维空间的扁平国的可能居民的几个例子。那个手提一串葡萄的站立者可称为“正面人”，因为他只有“正面”而没有“侧面”。而他身边的动物则是一头“侧面驴”，或者说得更确切些，是一头“右侧面驴”。当然，我们也能画出一头“左侧面驴”。由于这两头驴都被限定于这个面上，所以从二维的观点来看，它们的不同就如同我们三维空间中的左右手套。你无法将“左驴”与“右驴”交叠起来，因为要使它们鼻子挨着鼻子、尾巴挨着尾巴，就得把其中一头驴子翻个个儿，这样一来，它可就四脚朝天，无法站立咯。
图22 生活在平面上的二维“影子生物”的样子。这种二维生物很不“现实”。此人有正面而无侧面，他无法将手里的葡萄送入口中。那头驴子倒可以吃到葡萄，但它只能向右走，要想左移只能退着走。驴子退着走倒并非罕见，但毕竟不太像样
不过，若将一头驴子从面上取出，在空间中翻转一下再放回去，两头驴子就会变得一样。同理也可以说，若把一只右手套沿第四方向拿出我们这个空间，适当地旋转一下再放回去，就可将它变成一只左手套。但我们的物理空间并无第四方向，所以只能认为上述方法是不可能做到的。那么，有没有别的办法呢？
现在，我们还是回到二维世界，不过不是考虑图22所示的普通平面，而是考虑所谓“莫比乌斯面”（surface of Möbius）的性质。这种面的名字得自于一个世纪以前最早对它进行研究的德国数学家。拿一个长长的纸条，将其一端拧个弯，然后把两端粘成一个环，便轻而易举地得到了莫比乌斯面。图23显示了这个环的具体做法。这种面有许多特殊性质，其中一个性质很容易发现：拿剪刀沿一条与边缘平行的线（沿着图23中的箭头）剪一圈，你一定会预期这样会把这个环剪成两个分离的环。但做了之后你就会发现猜错了：你得到的不是两个环，而是一个环，它是原有环的两倍长、一半宽！
图23 莫比乌斯面和克莱因瓶
让我们看看一头影子驴沿着莫比乌斯面走一圈会发生什么。假定它从位置1（图23）出发，此时看它是头“左侧面驴”。从图上可以清楚地看出，它走啊走，经过了位置2和位置3，最后又接近了出发点。但不仅你感到奇怪，它也感到纳闷，自己竟然处在蹄子朝上的古怪位置（位置4）。当然，它能在面上转一下使蹄子落地，但这样一来，头的朝向又不对了。
简而言之，沿着莫比乌斯面走一圈之后，我们这头“左侧面驴”变成了“右侧面驴”。别忘了，在此过程中，驴子一直处在面上而未被拿出来在空间翻转。于是我们发现，在一个扭曲的面上，只要绕过扭曲处，左手系物体就可以变成右手系物体，反之亦然。图23所示的莫比乌斯带是被称为“克莱因瓶”（如图23右边所示）的更一般的面的一部分。这种瓶只有一个面，自我封闭而没有明显的边界。如果这在二维的面上是可能的，那么同样的情况也可以在三维空间中发生，只要以恰当的方式将它扭曲。当然，设想空间中的莫比乌斯扭曲绝非易事。我们不能像看驴所在的面那样从外部来看我们的空间，当我们身在其中时，看清楚事物总是很难的。但天文空间自我封闭并以莫比乌斯的方式发生扭曲，这并非不可能。
如果真是如此，那么宇宙旅行家回到地球时，其心脏将位于胸腔右侧。手套和鞋子的制造商或许能够得益于生产过程的简化：他们只需制造同一种鞋子和手套，然后把一半物品装入飞船环绕宇宙一周，这样就能满足另一半的手脚所需了。
我们就用这个荒诞的奇思异想来结束关于不寻常空间的不寻常性质的讨论吧。