第二章 自然数与人工数
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一、最纯粹的数学
数学通常被人们尤其是数学家们誉为科学的女皇。既然是女皇，自然要力图避免与其他知识分支扯上关系。比如在一次“纯粹数学与应用数学联席会议”上，希尔伯特应邀作一次公开演讲，以帮助消除这两种数学家之间的敌意，他是这样说的：
我们常常听说，纯粹数学与应用数学是彼此敌对的。事实并非如此。纯粹数学和应用数学并非彼此敌对。它们过去不曾敌对，将来也不会敌对。它们不可能彼此敌对，因为两者其实毫无共同之处。
然而，尽管数学喜欢保持纯粹，并尽力远离其他科学，但其他科学尤其是物理学，却极力同数学“亲善”。事实上，纯粹数学的几乎每一个分支现在都被用来解释物理世界的某个特征。这包括抽象群理论、非交换代数、非欧几何等一直被认为最为纯粹、绝不可能付诸应用的学科。
但迄今为止，除了起智力训练的作用以外，还有一个巨大的数学分支成功地保持住了自己的无用性，它真可以被冠以“纯粹之王”的名号呢。这就是所谓的“数论”（这里的数指整数），它是纯粹数学思想最古老也最复杂的产物之一。
说来也怪，从某种角度来讲，数论这种最纯粹的数学竟然又可以称为一门经验科学，甚至是一门实验科学。事实上，它的绝大多数命题都是通过尝试用数来做不同的事情而提出的，就像物理学定律是通过尝试用物体来做不同的事情而提出的一样。此外，数论的一些命题已经“在数学上”得到了证明，而另一些命题还停留在纯粹经验的阶段，至今仍在考验最出色数学家的能力，这一点也和物理学一样。
让我们以质数问题为例来说明这一点。所谓质数，是指那些不能用两个或两个以上更小整数的乘积来表示的数，比如 2，3，5，7，11，13，17等就是这样的数。而比如12可以写成2×2×3，所以就不是质数。
质数的数目是无限的呢，还是存在着一个最大的质数，凡是比这个数更大的数都可以表示成已有质数的乘积呢？这个问题最早是欧几里得（Euclid）解决的，他简单而优雅地证明了并不存在什么“最大的质数”，质数的数目超出了任何限度。
为了考察这个问题，让我们暂时假定只知道有限个质数，其中最大的用N表示。现在我们把所有已知的质数都乘起来，再加上1，把它写成以下形式：
（1×2×3×5×7×11×13×…×N）+1。
这个数当然比那个据称的“最大质数”N大得多。但它显然不能被我们的任何一个质数（到N为止，包括N在内）除尽，因为从这个数的构造方式可以看出，拿这些质数中的任何一个来除它，都会留下余数1。
因此，这个数要么本身也是一个质数，要么必定能被一个比N更大的质数整除。而这两种情况都与我们最初假设的N是最大的质数相矛盾。
这种证明方式被称为归谬法，是数学家最爱用的工具之一。
图9
一旦知道质数的数目是无限的，我们自然会问，是否有什么简单的办法可以把它们一个不漏地挨个写出来。古希腊哲学家和数学家埃拉托色尼（Eratosthenes）最早提出了这样一种方法，即所谓的“筛法”。你只需将完整的自然数列 1，2，3，4…写下来，然后相继删去所有2的倍数、3的倍数、5的倍数，等等。图9显示了将埃拉托色尼的“筛法”用于前100个数的情况，其中总共有26个质数。通过使用这种简单的筛法，我们已经制作了10亿以内的质数表。
倘若能设计出一个公式，可以迅速地自动找到所有质数而且仅仅是质数，那该多方便啊。可惜，经过数个世纪的努力，我们仍然没有找到这样的公式。1640年，著名的法国数学家费马（Pierre Fermat）认为自己已经设计出了一个只产生质数的公式：22n+1，其中n取1，2，3，4等自然数的值。
运用这个公式，我们得到：
221+1=5，
222+1=17，
223+1=257，
224+1=65537。
这几个数的确都是质数。但在费马宣布这个公式之后大约一个世纪，德国数学家欧拉（Leonard Euler）证明，费马的第五个数225+1=4 294 967 297并非质数，而是6 700 417与641的乘积。于是，费马这个演算质数的经验规则被证明是错误的。
还有一个引人注目的公式也可以产生许多质数。这个公式是：
n2-n+41，
其中n也取1，2，3等自然数的值。人们已经发现，在n取1到40之间某个数的情况下，用上述公式都能产生质数。可惜到了第41步，这个公式也不管用了。
事实上，
(41)2-41+41＝412＝41×41，
这是一个平方数，而不是质数。
人们还尝试过另一个公式：
n2-79n+1601，
在n取从1到79之间的某个数时，这个公式都能产生质数，然而当n＝80时，它又失效了！
于是，寻找只产生质数的普遍公式的问题仍然没有得到解决。
尚未得到证明也没有被否证的数论定理的另一个有趣例子是1742年提出的所谓“哥德巴赫猜想”。它说：每一个偶数都能表示成两个质数之和。从一些简单的例子很容易看出它是对的，比如12=7+5，24=17+7，32=29+3。但数学家们虽然就此作了大量研究，却依然不能确凿地证明这个命题是对的，也找不出一个反例来否证它。直到1931年，苏联数学家施尼雷尔曼（Schnirelmann）才朝着所期望的证明成功地迈出了建设性的第一步。他证明，每一个偶数都是不多于300 000个质数之和。后来，“300 000个质数之和”与“2个质数之和”之间的差距被另一位苏联数学家维诺格拉多夫（Vinogradoff）大大缩短了。他把史尼雷尔曼的结论减少到“4个质数之和”。但是从维诺格拉多夫的“4个质数”到哥德巴赫的“2个质数”，这最后的两步似乎最难迈过去。我们不知道究竟需要几年还是几个世纪，才能最终证明或否证这个困难的命题。
由此可见，要想导出能够自动给出小于任意大的数的所有质数的公式，我们还有很远的路要走，我们甚至不确定究竟能否导出这样的公式呢。
现在，我们也许可以问一个更为谦卑的问题：在给定的数值区间内，质数所占的百分比有多少。随着数变得越来越大，这个百分比是否大致保持恒定？如果不是，它是增大还是减小？我们可以通过查找不同数值区间内的质数数目来经验地回答这个问题。我们发现，100以内有 26个质数，1 000以内有168个，1 000 000以内有78 498个，1 000 000 000以内有50 847 478个。把这些质数数目除以相应的数值区间，我们便得到了下面这张表：
数值区间
1~N
质数数目
比率
偏差（%）
1~100
26
0.260
0.217
20
1~1 000
168
0.168
0.145
16
1~106
78 498
0.078 498
0.072 382
8
1~109
50 847 478
0.050 847 478
0.048 254 942
5
从这张表上首先可以看出，随着数值区间的扩大，质数的相对数目在逐渐减少，但并不存在质数的终点。
有没有什么简单的办法能对质数在大数当中所占百分比的这种减小做出数学表示呢？有的，而且支配质数平均分布的法则堪称整个数学中最引人注目的发现之一。这条法则说：从1到任何更大的数N之间质数所占的百分比近似由N的自然对数的倒数所表示。11N越大，这种近似就越精确。
从上表的第四栏可以查到N的自然对数的倒数。将它们与前一栏的值对比一下，就会看到两者非常接近，而且N越大就越接近。
和其他许多数论命题一样，上述质数定理起初也是凭经验发现的，而且长时间得不到严格的数学证明。直到19世纪末，法国数学家阿达马（Jacques Solomon Hadamard）和比利时数学家普桑（de la Vallée Poussin）才终于证明了它。其证明方法太过繁难，这里就不去解释了。
既然讨论整数，就不能不提到著名的费马大定理，尽管这个定理与质数的性质并无必然联系。这个问题可以追溯到古埃及，那里的每一个好木匠都知道，一个三边之比为3:4:5的三角形必定包含一个直角。事实上，古埃及人正是把这样一个三角形（现在被称为埃及三角形）用作木匠的曲尺。
公元3世纪时，亚历山大里亚的丢番图（Diophantes）开始思考这样一个问题：是否只有3和4这两个整数才满足其平方和等于另一个整数的平方？他证明，还有其他三个一组的整数（事实上有无穷多组）具有这样的性质，并且给出了找到这些整数的一般规则。这些三边均为整数的直角三角形被称为毕达哥拉斯三角形，埃及三角形是其中第一个。构造毕达哥拉斯三角形的问题可以简单地表述成解代数方程
x2+y2=z2，
其中x，y，z须为整数。12
1621年，费马在巴黎买了一本丢番图所著《算术》的法文译本，其中讨论了毕达哥拉斯三角形。费马读这本书时，在书页空白处作了一则简短的笔记，说虽然方程
x2+y2=z2
有无穷多组整数解，但对于任何
xn+yn=zn
类型的方程，当n大于2时永远没有整数解。
“我发现了一个绝妙的证明，”费马补充说，“但这里的空白太窄了，写不下。”
费马去世后，人们在他的图书室发现了丢番图的那本书，那则旁注的内容也公之于世。三百多年来，各国最优秀的数学家都在力图重建费马写那则旁注时所想到的证明，但至今未能成功。13当然，在朝着终极目标迈进方面已经有了很大进展。一门全新的数学分支，即所谓的“理想数理论”，在尝试证明费马大定理的过程中被创建出来。欧拉证明，方程x3+y3=z3和x4+y4=z4不可能有整数解。狄利克雷（Dirichlet）证明，x5+y5=z5也是如此。通过几位数学家的共同努力，现已证明，当n的值小于269时，费马方程都不可能有整数解。不过，对指数n取任何值都成立的一般证明一直没能作出。人们越来越怀疑，费马要么根本没有作出证明，要么就是在证明过程中有什么地方弄错了。为了寻求这个问题的解答，曾经悬赏10万德国马克，这个问题因此变得红极一时。不过，那些为奖金而来的业余数学家的努力全都以失败而告终。
当然，这个定理也有可能是错误的，只要能找到一个例子，证明两个整数的某个相同高次幂之和等于另一个整数的同一次幂就可以了。不过在寻找这个例子时，我们只能使用比269更大的幂次，这可不是容易的事情啊。
二、神秘的
现在，我们来做点儿高级算术。二二得四，三三得九，四四一十六，五五二十五。因此，四的平方根是二，九的平方根是三，十六的平方根是四，二十五的平方根是五。14
但一个负数的平方根会是什么呢？和这样的表达式有什么意义吗？
如果你试图以理性的方式来理解这样的数，你一定会得出结论说，上述表达式没有任何意义。我们可以引用12世纪的印度数学家婆什迦罗（Brahmin Bhaskara）的话：“正数的平方是正数，负数的平方也是正数。因此，正数的平方根有两个：一个正的、一个负的。负数没有平方根，因为负数不是平方数。”
但数学家都是固执的人。如果有某个看上去没有意义的东西不断出现在其公式中，他们就会尽力为其赋予意义。负数的平方根显然持续出现在各种地方，无论是过去的数学家所思考的简单算术问题，还是20世纪在相对论框架内将时间和空间统一起来的问题。
最早将负数的平方根这个看似没有意义的东西写到公式中的勇士是16世纪的意大利数学家卡尔丹（Cardan）。在讨论是否有可能将10分成乘积等于40的两部分时，卡尔丹表明，虽然这个问题没有任何有理解，但如果把答案写成5+和5-这两个荒谬的表达式就可以了。15
卡尔丹虽然承认这两个表达式没有意义，是虚构和想象的，但还是把它们写下来了。
如果有人敢把负数的平方根写下来，那么将10分成乘积等于40的两部分的问题就迎刃而解了，尽管它们是虚构的。一旦打破坚冰，负数的平方根，或如卡尔丹所称的“虚数”，就越来越被数学家们频繁使用了，尽管使用时总是很有保留，并且要找适当的借口。在著名德国科学家欧拉1770年出版的代数著作中，我们看到了对虚数的大量运用。但作为缓和，他又加上了如下评论：“所有像、……这样的表达式都是不可能的或想象中的数，因为它们表示的是负数的平方根。对于这类数，我们也许可以断言，它们既不是无，也不比无更多或更少。它们纯属虚幻或不可能。”
然而，尽管有这些毁谤和借口，虚数很快就成了数学中像分数或根式一样无法避免的东西。如果不使用虚数，几乎可以说寸步难行。
可以说，虚数家族代表着实数的一个虚构的镜像。正如我们从基本数1可以产生所有实数，我们也可以把当作虚数的基本数（通常用符号i表示），由它产生所有虚数。
不难看出，=×=3i，=×=0.246…i，等等，因此每一个实数都有自己的虚数搭挡。我们还能像卡尔丹起初所做的那样把实数和虚数结合起来，组成像5+=5+i这样的表达式。这种混合形式通常被称为复数。
闯入数学领域之后足足两个世纪，虚数仍然被一张难以置信的神秘面纱包裹着，直到两位业余数学家，即挪威的测量员韦塞尔（Wessel）和巴黎的簿记员阿尔冈（Robot Argand），最终对虚数做出了简单的几何解释。
按照他们的解释，一个复数，例如3+4i，可以像在图10中那样表示出来，其中3对应着水平距离，4对应着垂直距离。
事实上，所有实数（无论是正是负）都可以用横轴上的点来表示，所有纯虚数都可以用纵轴上的点来表示。我们把一个实数（代表横轴上的一个点）比如3乘以虚数单位i，就得到了位于纵轴上的纯虚数3i。因此，一个数乘以i，在几何上等价于逆时针旋转90°。（见图10）。
图10
如果把3i再乘以i，则须再旋转90°，结果又回到了横轴，不过现在位于负数那一边。因此，
3i×i=3i2=-3，
或
i2=-1。
说“i的平方等于-1”远比说“两次逆时针旋转90°便成反向”更容易理解。
当然，同样的规则也适用于混合的复数。把3+4i乘以i，我们得到
（3+4i）i=3i+4i2=3i-4=-4+3i。
由图10立即可以看到，-4+3i这个点对应于3+4i这个点围绕原点逆时针旋转90°。同样，由图10也可以看出，一个数乘以-i不过是它围绕原点顺时针旋转90°罢了。
如果你仍然觉得虚数蒙有一层神秘的面纱，那就让我们通过解决一个虚数有实际应用的简单问题来揭开它吧。
有一个喜欢冒险的年轻人，在他曾祖父的遗稿中发现了一张羊皮纸，上面透露了一个藏宝地点。它是这样写着的：
乘船至北纬 、西经 ，16即可找到一座荒岛。岛的北岸有一大片草地，草地上有一棵橡树和一棵松树。17那里还能看到一个年代已久的绞架，那是我们曾经用来吊死叛变者的。从绞架走到橡树，记住走了多少步；到了橡树之后，向右转个直角再走这么多步，在那里打个桩。然后回到绞架朝松树走，记住所走的步数。到了松树之后，向左转个直角再走这么多步，在那里也打个桩。在两个桩的中间挖掘，即可找到财宝。
这些指令清楚而明确。于是，这位年轻人租了一条船驶往南太平洋。他找到了这座岛，也找到了橡树和松树，但让他大失所望的是，绞架不见了。此时距离写下那份遗稿已经过去太长时间，风吹日晒雨淋已使绞架的木头彻底腐烂，归于泥土，当初所在的位置一点痕迹也没有留下来。
我们这位爱冒险的年轻人陷入了绝望。愤怒而狂乱的他开始在地上胡乱挖掘。但这个岛面积太大了，他的所有努力都付诸东流。一无所获的他只得返航。如今，那财宝可能还在岛上埋着呢！
这是一个不幸的故事，但更为不幸的是，如果这个小伙子懂点数学，特别是懂得如何运用虚数，他或许能够找到财宝。现在让我们为他找找看，尽管对他来说已经太晚了。
图11 用虚数寻宝
把这个岛看成一个复数平面。过两树的根画出一轴（实轴），过两树的中点作另一轴（虚轴）与实轴垂直（见图11）。取两树距离的一半作为我们的长度单位，于是可以说，橡树位于实轴上的-1点，松树位于+1点。我们不知道绞架在哪里，不妨用希腊字母Γ（这个字母的样子倒像个绞架！）来表示它的假设位置。由于该位置并不一定在两根轴中的某一轴上，所以应把Γ看成一个复数，即Γ=a+bi。
现在我们来做些简单的计算，别忘了前面讲过的虚数的乘法规则。如果绞架在Γ，橡树在-1，则两者的方位距离为
-1-Γ=-(1+Γ)。
同样，绞架与松树的方位距离为1-Γ。根据上述规则，将这两段距离分别沿顺时针（向右）和逆时针（向左）旋转90°，就是把它们分别乘以-i和i，这样便求出了我们打的两根桩的位置：
第一根桩：(-i)［-(1+Γ)］+1=i(Γ+1)+1，
第二根桩：(+i)(1-Γ)-1=i(1-Γ)-1。
由于财宝在两根桩的正中间，所以我们应求出上述两个复数之和的一半，即
［i(Γ+1)+1+i(1-Γ)-1］=(iΓ+i+1+i-iΓ-1)=(2i)=i。
由此可见，Γ所表示的绞架的未知位置已经从我们的运算过程中消失了。无论绞架在哪里，财宝都必定在+i这个点上。
因此，如果这个年轻人能做这么一点简单的数学运算，他就无须在整个岛上挖来挖去，而只要在图11中打×的地方寻找财宝。
如果你仍然不相信，要找到财宝完全不需要知道绞架的位置，你可以在一张纸上标记出两棵树的位置，再为绞架假设几个不同的位置，然后按照羊皮纸上的指令去做。你将总是得到复数平面上对应于+i的那个位置！
通过运用-1的平方根这个虚数，我们还找到了另一项隐秘的财宝：我们惊讶地发现，普通的三维空间能与时间结合成受四维几何学规则支配的四维空间。我们将在接下来的某一章讨论爱因斯坦的思想和他的相对论，届时会回到这一发现。
一、最纯粹的数学
数学通常被人们尤其是数学家们誉为科学的女皇。既然是女皇，自然要力图避免与其他知识分支扯上关系。比如在一次“纯粹数学与应用数学联席会议”上，希尔伯特应邀作一次公开演讲，以帮助消除这两种数学家之间的敌意，他是这样说的：
我们常常听说，纯粹数学与应用数学是彼此敌对的。事实并非如此。纯粹数学和应用数学并非彼此敌对。它们过去不曾敌对，将来也不会敌对。它们不可能彼此敌对，因为两者其实毫无共同之处。
然而，尽管数学喜欢保持纯粹，并尽力远离其他科学，但其他科学尤其是物理学，却极力同数学“亲善”。事实上，纯粹数学的几乎每一个分支现在都被用来解释物理世界的某个特征。这包括抽象群理论、非交换代数、非欧几何等一直被认为最为纯粹、绝不可能付诸应用的学科。
但迄今为止，除了起智力训练的作用以外，还有一个巨大的数学分支成功地保持住了自己的无用性，它真可以被冠以“纯粹之王”的名号呢。这就是所谓的“数论”（这里的数指整数），它是纯粹数学思想最古老也最复杂的产物之一。
说来也怪，从某种角度来讲，数论这种最纯粹的数学竟然又可以称为一门经验科学，甚至是一门实验科学。事实上，它的绝大多数命题都是通过尝试用数来做不同的事情而提出的，就像物理学定律是通过尝试用物体来做不同的事情而提出的一样。此外，数论的一些命题已经“在数学上”得到了证明，而另一些命题还停留在纯粹经验的阶段，至今仍在考验最出色数学家的能力，这一点也和物理学一样。
让我们以质数问题为例来说明这一点。所谓质数，是指那些不能用两个或两个以上更小整数的乘积来表示的数，比如 2，3，5，7，11，13，17等就是这样的数。而比如12可以写成2×2×3，所以就不是质数。
质数的数目是无限的呢，还是存在着一个最大的质数，凡是比这个数更大的数都可以表示成已有质数的乘积呢？这个问题最早是欧几里得（Euclid）解决的，他简单而优雅地证明了并不存在什么“最大的质数”，质数的数目超出了任何限度。
为了考察这个问题，让我们暂时假定只知道有限个质数，其中最大的用N表示。现在我们把所有已知的质数都乘起来，再加上1，把它写成以下形式：
（1×2×3×5×7×11×13×…×N）+1。
这个数当然比那个据称的“最大质数”N大得多。但它显然不能被我们的任何一个质数（到N为止，包括N在内）除尽，因为从这个数的构造方式可以看出，拿这些质数中的任何一个来除它，都会留下余数1。
因此，这个数要么本身也是一个质数，要么必定能被一个比N更大的质数整除。而这两种情况都与我们最初假设的N是最大的质数相矛盾。
这种证明方式被称为归谬法，是数学家最爱用的工具之一。
图9
一旦知道质数的数目是无限的，我们自然会问，是否有什么简单的办法可以把它们一个不漏地挨个写出来。古希腊哲学家和数学家埃拉托色尼（Eratosthenes）最早提出了这样一种方法，即所谓的“筛法”。你只需将完整的自然数列 1，2，3，4…写下来，然后相继删去所有2的倍数、3的倍数、5的倍数，等等。图9显示了将埃拉托色尼的“筛法”用于前100个数的情况，其中总共有26个质数。通过使用这种简单的筛法，我们已经制作了10亿以内的质数表。
倘若能设计出一个公式，可以迅速地自动找到所有质数而且仅仅是质数，那该多方便啊。可惜，经过数个世纪的努力，我们仍然没有找到这样的公式。1640年，著名的法国数学家费马（Pierre Fermat）认为自己已经设计出了一个只产生质数的公式：22n+1，其中n取1，2，3，4等自然数的值。
运用这个公式，我们得到：
221+1=5，
222+1=17，
223+1=257，
224+1=65537。
这几个数的确都是质数。但在费马宣布这个公式之后大约一个世纪，德国数学家欧拉（Leonard Euler）证明，费马的第五个数225+1=4 294 967 297并非质数，而是6 700 417与641的乘积。于是，费马这个演算质数的经验规则被证明是错误的。
还有一个引人注目的公式也可以产生许多质数。这个公式是：
n2-n+41，
其中n也取1，2，3等自然数的值。人们已经发现，在n取1到40之间某个数的情况下，用上述公式都能产生质数。可惜到了第41步，这个公式也不管用了。
事实上，
(41)2-41+41＝412＝41×41，
这是一个平方数，而不是质数。
人们还尝试过另一个公式：
n2-79n+1601，
在n取从1到79之间的某个数时，这个公式都能产生质数，然而当n＝80时，它又失效了！
于是，寻找只产生质数的普遍公式的问题仍然没有得到解决。
尚未得到证明也没有被否证的数论定理的另一个有趣例子是1742年提出的所谓“哥德巴赫猜想”。它说：每一个偶数都能表示成两个质数之和。从一些简单的例子很容易看出它是对的，比如12=7+5，24=17+7，32=29+3。但数学家们虽然就此作了大量研究，却依然不能确凿地证明这个命题是对的，也找不出一个反例来否证它。直到1931年，苏联数学家施尼雷尔曼（Schnirelmann）才朝着所期望的证明成功地迈出了建设性的第一步。他证明，每一个偶数都是不多于300 000个质数之和。后来，“300 000个质数之和”与“2个质数之和”之间的差距被另一位苏联数学家维诺格拉多夫（Vinogradoff）大大缩短了。他把史尼雷尔曼的结论减少到“4个质数之和”。但是从维诺格拉多夫的“4个质数”到哥德巴赫的“2个质数”，这最后的两步似乎最难迈过去。我们不知道究竟需要几年还是几个世纪，才能最终证明或否证这个困难的命题。
由此可见，要想导出能够自动给出小于任意大的数的所有质数的公式，我们还有很远的路要走，我们甚至不确定究竟能否导出这样的公式呢。
现在，我们也许可以问一个更为谦卑的问题：在给定的数值区间内，质数所占的百分比有多少。随着数变得越来越大，这个百分比是否大致保持恒定？如果不是，它是增大还是减小？我们可以通过查找不同数值区间内的质数数目来经验地回答这个问题。我们发现，100以内有 26个质数，1 000以内有168个，1 000 000以内有78 498个，1 000 000 000以内有50 847 478个。把这些质数数目除以相应的数值区间，我们便得到了下面这张表：
数值区间
1~N
质数数目
比率
偏差（%）
1~100
26
0.260
0.217
20
1~1 000
168
0.168
0.145
16
1~106
78 498
0.078 498
0.072 382
8
1~109
50 847 478
0.050 847 478
0.048 254 942
5
从这张表上首先可以看出，随着数值区间的扩大，质数的相对数目在逐渐减少，但并不存在质数的终点。
有没有什么简单的办法能对质数在大数当中所占百分比的这种减小做出数学表示呢？有的，而且支配质数平均分布的法则堪称整个数学中最引人注目的发现之一。这条法则说：从1到任何更大的数N之间质数所占的百分比近似由N的自然对数的倒数所表示。11N越大，这种近似就越精确。
从上表的第四栏可以查到N的自然对数的倒数。将它们与前一栏的值对比一下，就会看到两者非常接近，而且N越大就越接近。
和其他许多数论命题一样，上述质数定理起初也是凭经验发现的，而且长时间得不到严格的数学证明。直到19世纪末，法国数学家阿达马（Jacques Solomon Hadamard）和比利时数学家普桑（de la Vallée Poussin）才终于证明了它。其证明方法太过繁难，这里就不去解释了。
既然讨论整数，就不能不提到著名的费马大定理，尽管这个定理与质数的性质并无必然联系。这个问题可以追溯到古埃及，那里的每一个好木匠都知道，一个三边之比为3:4:5的三角形必定包含一个直角。事实上，古埃及人正是把这样一个三角形（现在被称为埃及三角形）用作木匠的曲尺。
公元3世纪时，亚历山大里亚的丢番图（Diophantes）开始思考这样一个问题：是否只有3和4这两个整数才满足其平方和等于另一个整数的平方？他证明，还有其他三个一组的整数（事实上有无穷多组）具有这样的性质，并且给出了找到这些整数的一般规则。这些三边均为整数的直角三角形被称为毕达哥拉斯三角形，埃及三角形是其中第一个。构造毕达哥拉斯三角形的问题可以简单地表述成解代数方程
x2+y2=z2，
其中x，y，z须为整数。12
1621年，费马在巴黎买了一本丢番图所著《算术》的法文译本，其中讨论了毕达哥拉斯三角形。费马读这本书时，在书页空白处作了一则简短的笔记，说虽然方程
x2+y2=z2
有无穷多组整数解，但对于任何
xn+yn=zn
类型的方程，当n大于2时永远没有整数解。
“我发现了一个绝妙的证明，”费马补充说，“但这里的空白太窄了，写不下。”
费马去世后，人们在他的图书室发现了丢番图的那本书，那则旁注的内容也公之于世。三百多年来，各国最优秀的数学家都在力图重建费马写那则旁注时所想到的证明，但至今未能成功。13当然，在朝着终极目标迈进方面已经有了很大进展。一门全新的数学分支，即所谓的“理想数理论”，在尝试证明费马大定理的过程中被创建出来。欧拉证明，方程x3+y3=z3和x4+y4=z4不可能有整数解。狄利克雷（Dirichlet）证明，x5+y5=z5也是如此。通过几位数学家的共同努力，现已证明，当n的值小于269时，费马方程都不可能有整数解。不过，对指数n取任何值都成立的一般证明一直没能作出。人们越来越怀疑，费马要么根本没有作出证明，要么就是在证明过程中有什么地方弄错了。为了寻求这个问题的解答，曾经悬赏10万德国马克，这个问题因此变得红极一时。不过，那些为奖金而来的业余数学家的努力全都以失败而告终。
当然，这个定理也有可能是错误的，只要能找到一个例子，证明两个整数的某个相同高次幂之和等于另一个整数的同一次幂就可以了。不过在寻找这个例子时，我们只能使用比269更大的幂次，这可不是容易的事情啊。
二、神秘的
现在，我们来做点儿高级算术。二二得四，三三得九，四四一十六，五五二十五。因此，四的平方根是二，九的平方根是三，十六的平方根是四，二十五的平方根是五。14
但一个负数的平方根会是什么呢？和这样的表达式有什么意义吗？
如果你试图以理性的方式来理解这样的数，你一定会得出结论说，上述表达式没有任何意义。我们可以引用12世纪的印度数学家婆什迦罗（Brahmin Bhaskara）的话：“正数的平方是正数，负数的平方也是正数。因此，正数的平方根有两个：一个正的、一个负的。负数没有平方根，因为负数不是平方数。”
但数学家都是固执的人。如果有某个看上去没有意义的东西不断出现在其公式中，他们就会尽力为其赋予意义。负数的平方根显然持续出现在各种地方，无论是过去的数学家所思考的简单算术问题，还是20世纪在相对论框架内将时间和空间统一起来的问题。
最早将负数的平方根这个看似没有意义的东西写到公式中的勇士是16世纪的意大利数学家卡尔丹（Cardan）。在讨论是否有可能将10分成乘积等于40的两部分时，卡尔丹表明，虽然这个问题没有任何有理解，但如果把答案写成5+和5-这两个荒谬的表达式就可以了。15
卡尔丹虽然承认这两个表达式没有意义，是虚构和想象的，但还是把它们写下来了。
如果有人敢把负数的平方根写下来，那么将10分成乘积等于40的两部分的问题就迎刃而解了，尽管它们是虚构的。一旦打破坚冰，负数的平方根，或如卡尔丹所称的“虚数”，就越来越被数学家们频繁使用了，尽管使用时总是很有保留，并且要找适当的借口。在著名德国科学家欧拉1770年出版的代数著作中，我们看到了对虚数的大量运用。但作为缓和，他又加上了如下评论：“所有像、……这样的表达式都是不可能的或想象中的数，因为它们表示的是负数的平方根。对于这类数，我们也许可以断言，它们既不是无，也不比无更多或更少。它们纯属虚幻或不可能。”
然而，尽管有这些毁谤和借口，虚数很快就成了数学中像分数或根式一样无法避免的东西。如果不使用虚数，几乎可以说寸步难行。
可以说，虚数家族代表着实数的一个虚构的镜像。正如我们从基本数1可以产生所有实数，我们也可以把当作虚数的基本数（通常用符号i表示），由它产生所有虚数。
不难看出，=×=3i，=×=0.246…i，等等，因此每一个实数都有自己的虚数搭挡。我们还能像卡尔丹起初所做的那样把实数和虚数结合起来，组成像5+=5+i这样的表达式。这种混合形式通常被称为复数。
闯入数学领域之后足足两个世纪，虚数仍然被一张难以置信的神秘面纱包裹着，直到两位业余数学家，即挪威的测量员韦塞尔（Wessel）和巴黎的簿记员阿尔冈（Robot Argand），最终对虚数做出了简单的几何解释。
按照他们的解释，一个复数，例如3+4i，可以像在图10中那样表示出来，其中3对应着水平距离，4对应着垂直距离。
事实上，所有实数（无论是正是负）都可以用横轴上的点来表示，所有纯虚数都可以用纵轴上的点来表示。我们把一个实数（代表横轴上的一个点）比如3乘以虚数单位i，就得到了位于纵轴上的纯虚数3i。因此，一个数乘以i，在几何上等价于逆时针旋转90°。（见图10）。
图10
如果把3i再乘以i，则须再旋转90°，结果又回到了横轴，不过现在位于负数那一边。因此，
3i×i=3i2=-3，
或
i2=-1。
说“i的平方等于-1”远比说“两次逆时针旋转90°便成反向”更容易理解。
当然，同样的规则也适用于混合的复数。把3+4i乘以i，我们得到
（3+4i）i=3i+4i2=3i-4=-4+3i。
由图10立即可以看到，-4+3i这个点对应于3+4i这个点围绕原点逆时针旋转90°。同样，由图10也可以看出，一个数乘以-i不过是它围绕原点顺时针旋转90°罢了。
如果你仍然觉得虚数蒙有一层神秘的面纱，那就让我们通过解决一个虚数有实际应用的简单问题来揭开它吧。
有一个喜欢冒险的年轻人，在他曾祖父的遗稿中发现了一张羊皮纸，上面透露了一个藏宝地点。它是这样写着的：
乘船至北纬 、西经 ，16即可找到一座荒岛。岛的北岸有一大片草地，草地上有一棵橡树和一棵松树。17那里还能看到一个年代已久的绞架，那是我们曾经用来吊死叛变者的。从绞架走到橡树，记住走了多少步；到了橡树之后，向右转个直角再走这么多步，在那里打个桩。然后回到绞架朝松树走，记住所走的步数。到了松树之后，向左转个直角再走这么多步，在那里也打个桩。在两个桩的中间挖掘，即可找到财宝。
这些指令清楚而明确。于是，这位年轻人租了一条船驶往南太平洋。他找到了这座岛，也找到了橡树和松树，但让他大失所望的是，绞架不见了。此时距离写下那份遗稿已经过去太长时间，风吹日晒雨淋已使绞架的木头彻底腐烂，归于泥土，当初所在的位置一点痕迹也没有留下来。
我们这位爱冒险的年轻人陷入了绝望。愤怒而狂乱的他开始在地上胡乱挖掘。但这个岛面积太大了，他的所有努力都付诸东流。一无所获的他只得返航。如今，那财宝可能还在岛上埋着呢！
这是一个不幸的故事，但更为不幸的是，如果这个小伙子懂点数学，特别是懂得如何运用虚数，他或许能够找到财宝。现在让我们为他找找看，尽管对他来说已经太晚了。
图11 用虚数寻宝
把这个岛看成一个复数平面。过两树的根画出一轴（实轴），过两树的中点作另一轴（虚轴）与实轴垂直（见图11）。取两树距离的一半作为我们的长度单位，于是可以说，橡树位于实轴上的-1点，松树位于+1点。我们不知道绞架在哪里，不妨用希腊字母Γ（这个字母的样子倒像个绞架！）来表示它的假设位置。由于该位置并不一定在两根轴中的某一轴上，所以应把Γ看成一个复数，即Γ=a+bi。
现在我们来做些简单的计算，别忘了前面讲过的虚数的乘法规则。如果绞架在Γ，橡树在-1，则两者的方位距离为
-1-Γ=-(1+Γ)。
同样，绞架与松树的方位距离为1-Γ。根据上述规则，将这两段距离分别沿顺时针（向右）和逆时针（向左）旋转90°，就是把它们分别乘以-i和i，这样便求出了我们打的两根桩的位置：
第一根桩：(-i)［-(1+Γ)］+1=i(Γ+1)+1，
第二根桩：(+i)(1-Γ)-1=i(1-Γ)-1。
由于财宝在两根桩的正中间，所以我们应求出上述两个复数之和的一半，即
［i(Γ+1)+1+i(1-Γ)-1］=(iΓ+i+1+i-iΓ-1)=(2i)=i。
由此可见，Γ所表示的绞架的未知位置已经从我们的运算过程中消失了。无论绞架在哪里，财宝都必定在+i这个点上。
因此，如果这个年轻人能做这么一点简单的数学运算，他就无须在整个岛上挖来挖去，而只要在图11中打×的地方寻找财宝。
如果你仍然不相信，要找到财宝完全不需要知道绞架的位置，你可以在一张纸上标记出两棵树的位置，再为绞架假设几个不同的位置，然后按照羊皮纸上的指令去做。你将总是得到复数平面上对应于+i的那个位置！
通过运用-1的平方根这个虚数，我们还找到了另一项隐秘的财宝：我们惊讶地发现，普通的三维空间能与时间结合成受四维几何学规则支配的四维空间。我们将在接下来的某一章讨论爱因斯坦的思想和他的相对论，届时会回到这一发现。